В 1952 году Юрий Анатольевич после окончания школы поступил на отделение механики физико-математического факультета Ростовского государственного университета (РГУ). В 1957 году он окончил университет и начал работать ассистентом кафедры теоретической механики. Его первые работы, выполненные под руководством И.И. Воровича, посвящены решению контактной задачи о взаимодействии жесткого штампа с упругим слоем на основе асимптотического подхода. Эти исследования заложили основы нового в то время научного направления ‒ смешанные задачи теории упругости для полуограниченных тел.

В 1961 году на факультете была создана кафедра теории упругости, Юрий Анатольевич стал одним из первых ее аспирантов. Во время обучения в аспирантуре он разработал новый оригинальный асимптотический метод, позволивший изучить особенности напряженно-деформированного состояния в многосвязных телах со сближенными границами. Эти результаты составили основу его кандидатской диссертации на тему «Некоторые задачи теории упругости для двухсвязных областей с круговыми границами и их приложение» (1964 г.).

Для профессора Устинова характерно сочетание глубоких фундаментальных исследований, основанных на спектральной теории операторов и функциональном анализе, с решением важных прикладных задач. Он внес существенный вклад в разработку методов расчета прочности горячей посадки бандажей на центры зубчатых колес прокатных станов и шахтных подъемников. По результатам этих исследований в соавторстве с Иосифом Израилевичем Воровичем и Юрием Васильевичем Сафроновым была опубликована первая монография «Расчет колес сложной конструкции» (М.: Машиностроение, 1967).

Дальнейшие научные интересы Юрия Анатольевича были связаны с проблемой предельного перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным. Им была построена математическая теория толстых поперечно-неоднородных плит, которая включает в себя методы построения неоднородных (позволяющих снять нагрузку с лицевых поверхностей плиты и свести задачу к однородной задаче) и однородных решений. Были реализованы алгоритмы расчета трехмерных задач и дано строгое математическое обоснование их сходимости. На основе построенной математической теории были проанализированы области применимости различных известных прикладных теорий и построены новые уточненные теории. Проведен анализ трехмерного напряженного состояния трехслойной плиты в окрестности локальной нагрузки.

Результаты исследований в области поперечно-неоднородных плит составили основу его докторской диссертации «Граничные задачи и проблема предельного перехода от трехмерных задач к двумерным для неоднородных плит», защищенной в 1977 году в Институте проблем механики АН СССР. В 2006 году результаты этих исследований были опубликованы в монографии «Математическая теория поперечно-неоднородных плит».

Тяга к исследованию новых научных проблем привела Юрия Анатольевича в 70-е гг. ХХ в. к изучению новых классов задач, находящихся на стыке механики твердого деформируемого тела и физики сегнетоэлектриков. Он одним из первых на основе трехмерных уравнений начал разрабатывать математическую теорию и методы расчета статических и динамических задач электроупругости, которые были применены далее для расчета реальных датчиков и устройств адаптивной оптики.

Профессор Устинов с учениками получил ряд фундаментальных результатов при исследовании распространения волн в неоднородных телах. Для твердых волноводов и слоистых плит из упругих и электроупругих материалов дано полное математическое описание структуры решений в окрестности толщинных резонансов. Часть полученных результатов опубликована в монографии «Математическая теория нерегулярных твердых волноводов» (1993 г.), написанной совместно с его учеником Игорем Петровичем Гетманом.

В 90-е гг. он начинает исследования, связанные с классическими задачами Сен-Венана для таких конструктивных элементов, как естественно закрученный стержень, цилиндрическая пружина, цилиндр с винтовой анизотропией. Разработан новый метод и на его основе решение трехмерных задач сведено к двумерным, дана вариационная постановка этих задач.Эти исследования нашли свое отражение в монографии «Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров» (2003 г.).

Широта научных интересов и богатейший опыт в решении различных практических задач позволили ему создать математическую модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах.

Имя Юрия Анатольевича Устинова широко известно не только во многих университетских центрах России (Москва, Санкт-Петербург, Саратов, Казань), где ему часто приходилось оппонировать при защите кандидатских и докторских диссертаций, но и в странах ближнего и дальнего зарубежья (Украина, Армения, Азербайджан). В 2003 г. он руководил грантом Лондонского математического общества совместно с учеными, работающими в Манчестерском университете. Разработанные профессором Устиновым подходы к аналитическому и численному исследованию равновесия и устойчивости нелинейно-упругих оболочек сложной геометрической формы позволили выполнить работу по оптимизации формы гофрированных мембран для крупной компании Германии.

Юрий Анатольевич является создателем и научным руководителем научной школы «Математическая теория и методы расчета конструкций из материалов со сложными физико-механическими свойствами». Его учениками являются 17 кандидатов и 4 доктора физико-математических наук. Среди них 2 декана, 2 заведующих кафедрами, член-корреспондент НАН Азербайджана М.Ф. Мехтиев, заведующий научным отделом фирмы Endress+Hauzer (Германия), д.физ.-мат.н. И.П. Гетман.

Юрий Анатольевич Устинов ‒ обладатель звания заслуженного деятеля науки РФ, член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике, член редколлегий журналов «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки» и «Известия НАН Азербайджана».

Профессор Устинов работал в системе высшей школы более 60 лет, из них большую часть ‒ в РГУ (ЮФУ). За время его педагогической деятельности им разработан ряд основных и оригинальных спецкурсов: «Теоретическая механика», «Теория оболочек», «Теория толстых плит», «Плоские и пространственные задачи теории упругости», «Электроупругость», «Приложения функционального анализа в задачах МСС». Одним из первых сотрудников механико-математического факультета РГУ Юрий Анатольевич был достоен звания соросовского профессора.

Юрий Анатольевич Устинов – крупный организатор научного, учебного и воспитательного процесса в системе высшего образования на Юге России. Свидетельство этого – работа деканом механико-математического факультета РГУ (1978–1979 гг.) и ректором Ростовского института сельскохозяйственного машиностроения (ныне Донской государственный технический университет) в 1983–1987 гг.

На протяжении многих лет Юрий Анатольевич принимал активное участие в аттестации кадров высшей квалификации. С 2002 по 2019 г. он являлся председателем диссертационного совета Д 212.208.06 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при РГУ (ЮФУ).

Большие заслуги Юрия Анатольевича Устинова в деле подготовки кадров отмечены орденами «Знак Почета» и Дружбы.

Коллектив Южного федерального университета выражает глубокие соболезнования родным и близким Юрия Анатольевича.