Окончив с отличием среднюю школу, Анатолий Васильевич Каляев в 1940 году поступил на электротехнический факультет Ленинградского политехнического института (ЛПИ). С 1941 по 1945 гг. участвовал в Великой отечественной войне и героической обороне Ленинграда.  В 1951 году окончил ЛПИ с дипломом с отличием, а в 1954 году   успешно защитил кандидатскую диссертацию. В 1954 году был направлен в город Таганрог, в Таганрогский радиотехнический институт (ныне – ИТА ЮФУ). Там он начал преподавательскую и исследовательскую работу по вычислительной технике сначала доцентом, затем, защитив в 1964 году докторскую диссертацию, профессором, заведующим кафедрой вычислительной техники, с 1957 по 1960 год — проректором по научной работе и с 1968 по 1986 год — ректором.

Анатолий Каляев – выдающийся ученый в области суперкомпьютеров, организатор, научный руководитель и признанный лидер ведущей научной школы, пользующейся известностью и авторитетом в широких кругах ученых нашей страны и за рубежом. Основными направлениями его научных исследований являлись суперкомпьютеры с массовым параллелизмом и нейропроцессорные системы.

Анатолием Каляевым лично подготовлены 17 докторов и 56 кандидатов наук. Под его руководством и при непосредственном участии была разработана не имеющая аналогов в мире концепция создания многопроцессорных вычислительных систем (суперкомпьютеров) с программируемой архитектурой. Сами же суперкомпьютеры, разработанные и созданные в НИИ МВС, по своим характеристикам существенно превосходили известные мировые аналоги.