Елена Михайловна родилась 3 мая 1922 года в Ростове-на-Дону в семье врачей. Ее бабушка была родной сестрой жены известного ростовского предпринимателя конца XIX-начала XX века Елпидифора Трофимовича Парамонова. Семья Парамоновых приняла непосредственное участие в том, чтобы их родной город принял у себя во время Первой мировой войны Варшавский университет, который стал прародителем Ростовского государственного университета.

В октябре 1941 года семья была эвакуирована в Махачкалу, а в августе 1942 года, после окончания 3 курса медицинского института, они перебрались в Алма-Ату, где и была реализована мечта: Елена Михайловна переходит на первый курс факультета журналистики. В мае 1944 года приказом Верховного Главнокомандующего всех недоучившихся студентов демобилизовали из армии для завершения образования. Так, Елена Михайловна вернулась в родной город, и в августе 1946 года была зачислена в очную группу Ростовского филиала Всесоюзного юридического заочного института. Факультета журналистики тогда в Ростове не было, а юриспруденция показалась ей в чем-то родственной профессией. 1 сентября 1947 года группа ростовских студентов ВЮЗИ была зачислена на второй курс только что открытого юридического факультета Ростовского государственного университета.

В Ростовском государственном университете Елена Михайловна Акопова приобщилась к научной работе. Уже в 1949 году в сборнике научных работ студентов РГУ появилась ее первая статья. В 1951 году Елена Акопова с отличием окончила юридический факультет и поступила на работу в Ростовское отделение Главсовхозснаба юрисконсультом, где проработала вплоть до 1954 года. В 1954 году она начинает преподавать трудовое право в Ростовском институте повышения квалификации работников местной промышленности, что и предопределило сферу ее научных интересов. 13 февраля 1956 года Елена Михайловна прочитала свою первую лекцию на юридическом факультете РГУ, где и прошла вся ее жизнь.

С 1956 по 1989 год Елена Михайловна работала на кафедре гражданского права и процесса, а после известных преобразований в общественной и политической жизни и с появлением новой специализации перешла на кафедру предпринимательского права. После ухода основателя и первого заведующего этой кафедрой профессора Станислава Зинченко в 1998 году, она была избрана заведующей и профессором кафедры, которую возглавляла вплоть до 2010 года. В июле 1998 года Елене Михайловне Акоповой было присвоено ученое звание профессора.

Елене Михайловна по праву считается одним из основоположников теории трудового процесса, который она определяла как совокупность связанных внутренним единством процедурных, процессуальных, организационных норм, объективно сложившихся в нескольких отраслях права, и норм общественных организаций, обеспечивающих процесс индивидуального регулирования общественно-трудовых отношений. По данной проблематике ею был опубликован ряд научных статей в журналах «Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы», «Правоведение», «Советское государство и право».

Боевые и трудовые заслуги Елены Михайловны удостоены наград Родины. За участие в Великой Отечественной войне она была награждена орденом Отечественной войны и боевыми медалями. За личные заслуги в осуществлении высококвалифицированной педагогической и научной деятельности ей было присвоено почетное звание «Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации».